Всякое мышление совершается в обобщениях. Одним из центральных является поэтому вопрос об обобщении и его зависимости от анализа.
Мы выделяем две формы обобщения: первичное эмпирическое обобщение посредством соотнесения и выделения общего в двух «ли нескольких различных явлениях или ситуациях и высшую форму научного обобщения, основанного на выделении существенных сторон явления и их взаимосвязи. Первая форма обобщения была в качестве якобы единственной выдвинута эмпирической философией, прежде всего Локком; вторую имел в виду В. И. Ленин, когда писал: «Самое простое обобщение, первое и простейшее образование понятий означает познание человека все более и более глубокой объективной связи мира». «Всякое общее есть (частичка или сторона или сущность) отдельного», в общем «мы отделяем существенное от являющегося»[12], от случайного. В процессе познания мы идем ко все более глубокому раскрытию существенного, выражая его в обобщениях все более высокого порядка.
К общим понятиям или положениям приходят в науке двумя путями: 1) в результате процесса обобщения, то есть прямого перехода от одного понятия или шложения к другому, более общему; это — путь индукции простой, или так называемой полной или совершенной; 2) в результате анализа, выделяющего существенные свойства, стороны и соотношения явления; такой анализ лежит в конечном счете и в основе первого пути. В наших исследованиях мы изучали зависимость обобщения от анализа.
Как уже отмечалось выше, обобщенность решения задачи зависит от того, насколько чисто анализ ее условий соотносительно с ее требованиями отчленил те существенные условия, от которых зависит решение, от привходящих обстоятельств, в которых задача была первоначально предъявлена (то или иное расположение фигуры в пространстве).
Пока не проанализированы обстоятельства, в которых была предъявлена задача, и не вычленены ее условия в собственном смысле через их соотнесение с требованиями задачи, — решение задачи не может выступить в обобщенном виде. Внешним выражением и индикатором отсутствия обобщенности решения является неспособность испытуемого «перенести» решение в новые условия: доказать ту же теорему или решить ту же задачу при изменении ее положения в пространстве и т. п.
Зависимость обобщения от анализа с разных сторон и применительно к разным видам обобщения была вскрыта рядом наших исследований. В частности, данные экспериментов И. М. Жуковой показали, что чем меньше звеньев анализа требует решение задачи, тем соответственно скорее совершается необходимое для решения задачи обобщение ее данных [13].
Зависимость обобщения от анализа выявилась также и при изучении процесса обобщения отношений (в опытах А. М. Матюшкина).
В качестве экспериментального материала в опытах были использованы позиционные системы счисления. Исследовался процесс обобщения отношений, лежащих в основе выражения числа в различных позиционных системах, то есть в системах с различным основанием. Обычно все мы пользуемся десятичной позиционной системой, основанием которой является единица второго разряда (число 10). Позиционной эта система, как известно, называется потому, что исчисляемое выражается не только с помощью абсолютного значения цифр, но и позиции — местом цифры в числе, — выражающей ее разрядные единицы.
Эксперименты носили характер последовательного решения испытуемыми системы задач, требующих выделения отношений, составляющих закономерность, и построения действий обозначения, основанных на этих отношениях. Испытуемыми были студенты и аспиранты МГУ, не изучавшие специальных курсов по теории числа и не знакомые с другими системами счисления, кроме десятичной.
В предварительной серии опытов испытуемым, которые умели обозначать числа в десятичной системе, предлагалось выразить в пятиричной системе числа, данные им в десятичной системе. Несмотря на то, что пятиричная система отличается от десятичной только основанием, а закономерность принципа обозначения чисел у них общая, поскольку как одна, так и другая является позиционной системой, в которой ее основание определяет разрядные единицы, однако испытуемые не смогли сразу решить предложенную им задачу. Это заставило предположить, что испытуемые хотя и обозначали числа в десятичной системе, но не вычленяли тех отношений, которые лежали в ее основе, и потому не могли их обобщить и перенести в пятиричную систему. Таким образом, уже из этой предварительной серии экспериментов вытекало, что в основе обобщенного понимания позиционной системы счисления лежит анализ тех отношений, которые заключены в основе ее построения.
Для проверки этого вывода была проведена серия экспериментов, в которых перед испытуемыми, пользующимися десятичной системой, ставилась сначала задача найти формулу обозначения любого числа в десятичной системе. Написать общую формулу числа — значит установить закономерные отношения между основанием системы счисления (10), количеством цифр (n) и их «абсолютным» значением (количеством единиц) в цифре.
Позиционный принцип выражается в формуле закономерным отношением между основанием системы счисления (10) и количеством цифр в числе (n) (так называемый мультипликативный принцип образования разрядов числа). Второе отношение, которой должно быть выделено для составления общей формулы любого числа в данной системе счисления, — это отношение, определяющее способ соединения разрядов в числе с помощью сложения (коммуникативный принцип). Второе отношение подчинено первому, поскольку здесь имеются в виду числа, уже выраженные на основе позиционного принципа [14].
В ходе эксперимента перед испытуемым была поставлена задача: найти общую формулу выражения в десятичной системе любого числа. Испытуемый пришел к этому обобщению, лишь проанализировав отношения, лежащие в основе десятичной системы, которую он до тех пор не изучал, над которой он не думал. Испытуемые (как и все мы) знакомы с формой написания чисел в десятичной системе, но они не знали лежащей в основе этой формы написания формулы построения числа в десятичной системе, поскольку они не проанализировали и не обобщили тех отношений, на которых эта формула строится. Анализ отчетливо выступает здесь как условие обобщения, обобщение — как результат анализа и условие принципа в другие условия, на другую систему.
Однако и после того, как испытуемый нашел общую формулу для выражения любого числа в десятичной системе, он оказался не в состоянии распространить (перенести) ее на пятиричную систему. Причина этого заключалась в том, что, уже придя к общей формуле для выражения любого числа в десятичной системе в результате анализа отношений, связывающих основание системы с остальными элементами формулы, испытуемый взял эту формулу в нерасчлененном, непроанализированном виде: не вычленил основания и отношений, в которых она в формуле включена. Поэтому он и не пришел к обобщению более высокого порядка — к общей формуле, выражающей не только любое число в десятичной системе, но и любое число в любой системе счисления (в системе счисления с любым, переменным основанием); испытуемому пришлось вновь специальным анализом в пределах пятиричной системы находить, по существу, ту же формулу, то есть ту же систему отношений при основании «пять». Для этого он вынужден был сначала строить ряд чисел в пятиричной системе и, соотнося эти числа, выраженные в пятиричной системе, вычленять отношения, общие для обозначения любого числа в пятиричной системе. Лишь посредством соотнесения этой формулы с прежде найденной формулой для любого числа в десятичной системе испытуемый произвел дальнейший анализ каждой из этих формул, вычленив в них различные (переменные) основания в общую систему отношений, в которую эти основания включаются в соответствующих формулах. В результате этого анализа испытуемый пришел к новому обобщению, к общей формуле для любого числа в любой позиционной системе счисления, то есть в позиционной системе счисления с любым основанием. Как только это обобщение было совершено, испытуемый сразу же (с места) находил формулу числа в четверичной, двоичной, тринадцатиричной — в любой позиционной системе счисления.
Перед нами, таким образом, отчетливо выступают два последовательно совершаемых обобщения: 1) нахождение формулы любого числа в десятичной системе и 2) нахождение формулы любого числа в любой позиционной системе счисления (позиционной системе с любым основанием). Эти два последовательных обобщения совершались в результате двух этапов анализа: 1) сначала анализа, в результате которого выступила формула выражения числа в позиционной системе счисления, причем основание системы еще не было отчленена от отношений, в которые оно в этой формуле включено, а затем 2) анализа, отчленившего систему отношений, которая составляет основное инвариантное содержание формулы, выражающей числовое содержание в позиционной системе, от переменного основания этой системы. В результате этого двойного анализа испытуемый и пришел к формуле, выражающей любое число в любой позиционной системе счисления. Такая обобщенная формула и позволила переходить от одной позиционной системы счисления к любой другой.
[12] В.И. Ленин. Философские тетради, стр. 153, 329.
[13] См. С.Л. Рубинштейн. О мышлении и путях его исследования. Изд-во АН СССР, 1958, глава III, стр. 59—65.
[14] Ср. протокол из опытов А.М. Матюшкина в книге: С.Л. Рубинштейн. О мышлении и путях его исследования. Изд-во АН СССР, 1958, глава V, стр. 117—120.